整数列の問題や整数に関連した多項式の問題なども整数問題とみなしています。中の人の数学力が低いため、問題が簡単に感じることがあります。整数を得点源にしたい人はぜひフォロー（受験生、数オリer向き）。たまに中の人の私情が流れます。
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29 Feb 2024
難易度はbot主が
15分以内にできる→激易
15〜30分でできる→易
30分〜1時間でできる→やや易
1時間以上かかるけどまあ1日でできる→標準
何日もかかってできる→やや難
無理→難
になっています。
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[4]aとbが互いに素な自然数とし、aを奇数とする。自然数nに対してaₙ,bₙ(aₙ.bₙは整数)を(a＋b√2)ⁿ＝aₙ＋bₙ√2を満たすように定めるとき、全てのnに対してaₙは奇数で、aₙとbₙは互いに素なことを示せ(2009年京大乙６、やや易)
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[97]数列a₁,a₂,…を
a_n＝2ⁿ＋3ⁿ＋6ⁿ－1(n＝1,2,…)
で定める。この数列のどの項とも互いに素な自然数をすべて求めよ(2005年IMOメキシコ大会4、易)
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[174]次の条件を満たす正の整数の組(a,b,c)をすべて求めよ
・aとbとcの最大公約数は1である
・任意の正の整数nに対してaⁿ＋bⁿ＋cⁿはa＋b＋cの倍数となる
(自作問題、易)
3
450
[269] pを素数、kを正の整数、nはp以上の整数とする。このときₙCₚ 2n=nᵏを満たす整数の組(n,p,k)を求めよ(東進数学コンクール(いつのかは不明)、やや難)
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[122]f(x)＝x³＋17とする。2以上の任意の自然数nの各々に対してf(x)が3ⁿで割り切れ3ⁿ⁺¹では割り切れないような自然数xが存在することを証明せよ(1999年JMO本選2、易)
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[53]p,qを素数、nを正の整数とする。xの方程式
x²-pⁿx qⁿ＝0
が整数解を持つとき、(p,q,n)の組を全て求めよ(2012年第二回東大オープン3、易)
3
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[195]初項が2015以上で、任意の正の整数nで以下の条件を満たす、自然数からなる数列a₀,a₁,…を求めよ
・aₙ₊₂はaₙの倍数
・|sₙ₊₁-(n 1)aₙ|＝1 (sₙ₊₁＝aₙ₊₁-aₙ … (-1)ⁿ⁺¹a₀)
(2015年APMO5、標準)
3
647
[112]次の条件を満たす正の整数nが無数にあることを示せ
条件:n²＋1は2n＋√(2n)より大きい素因数をもつ
(2008年IMOスペイン大会3、難)
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[80]3つの素数a,b,cがありab-1,bc-1は平方数でca-1は素数の6乗である。a,b,cを求めよ(大学への数学2012年5月号学力コンテスト6、激易)
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[4]aとbが互いに素な自然数とし、aを奇数とする。自然数nに対してaₙ,bₙ(aₙ.bₙは整数)を(a＋b√2)ⁿ＝aₙ＋bₙ√2を満たすように定めるとき、全てのnに対してaₙは奇数で、aₙとbₙは互いに素なことを示せ(2009年京大乙６、やや易)
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[91]自然数a,bはどちらも3で割り切れないが、a³＋b³は81で割り切れる。このようなa,bのうち、a²＋b²の値を最小にするものと、そのときのa²＋b²の値を求めよ(2014年京大5、激易)
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[23]数列{a_n}はa_1＝1,a_(n 1)＝[(a_n)/((³√9)-2)]で定める。このときa_2013を3で割った余りを求めよ。ただしa_2＝12,a_3＝149,a_4＝1860である(大学への数学2013年3月号宿題、標準)
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[143]nを4以上の整数とする。和がnとなる2つ以上の自然数の組み合わせを考え、その積の最大値をM(n)とおく。M(n)を求めよ(有名問題、やや易)
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[236]正の整数の組(a,b,c)であってa,b,cの最小公倍数が(ab bc ca)/4となるものをすべて求めよ(2020年JJMO本選、易)
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[200]以下の条件を満たす自然数列{x_n},{y_n}は存在するか
1…任意の自然数m,nで
|n-m|≦100(|x_n-x_m| |y_n-y_m| 1)
2…任意の自然数a,bに対してあるnで
|a-x_n| |b-y_n|≦100
(2015年京大特色入試4、やや易)
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